Ciąg arytmetyczny czy geometryczny?
W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy d do wyrazu poprzedniego. N-ty wyraz liczy się wzorem aₙ = a₁ + (n-1)×d, a suma n początkowych wyrazów to Sₙ = n/2 × (2a₁ + (n-1)×d). W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz r. N-ty wyraz to aₙ = a₁ × r^(n-1), a suma to Sₙ = a₁ × (r^n - 1)/(r-1) dla r≠1.
Wzrost liniowy kontra wykładniczy
Ciąg arytmetyczny rośnie liniowo (stałe tempo przyrostu), podczas gdy ciąg geometryczny z ilorazem większym od 1 rośnie coraz szybciej — to klasyczny przykład wzrostu wykładniczego, znanego m.in. z procentu składanego, rozprzestrzeniania się informacji w sieci społecznościowej czy wzrostu populacji w warunkach nieograniczonych zasobów.
Najczęstsze pytania
W arytmetycznym dodaje się stałą różnicę, w geometrycznym mnoży się przez stały iloraz.
Rośnie coraz szybciej — to wzrost wykładniczy.
Arytmetyczny np. do rat malejących, geometryczny do procentu składanego czy wzrostu populacji.
Powiązane kalkulatory
Ciągi arytmetyczne i geometryczne opisują dwa typy wzrostu:
- Kalkulator odsetek — procent składany to ciąg geometryczny.
- Kalkulator oszczędności — regularne wpłaty tworzą sumę ciągu geometrycznego.
- Kalkulator logarytmów — ile wyrazów potrzeba, żeby przekroczyć zadaną wartość.
Na czym opiera się ten kalkulator
W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy, w geometrycznym — przez pomnożenie przez stały iloraz. Stąd wzory na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów. Ciąg geometryczny opisuje ten sam typ wzrostu co procent składany, dlatego wraca w rachunkach finansowych.
Aby zobaczyć praktyczne zastosowanie ciągu geometrycznego w finansach, sprawdź kalkulator oszczędności z procentem składanym.